恐吓行为在特定情况下会构成犯罪，具体罪名及处罚如下：
寻衅滋事罪
定义：以加害生命、身体、自由、名誉、财产恐吓他人，破坏社会秩序的犯罪行为。
法律依据：《中华人民共和国刑法》第二百九十三条。
处罚：处五年以下有期徒刑、拘役或者管制；纠集他人多次实施恐吓行为，严重破坏社会秩序的，处五年以上十年以下有期徒刑，可以并处罚金。
敲诈勒索罪
定义：恐吓时索要财物，构成敲诈勒索罪。
法律依据：《中华人民共和国刑法》第二百七十四条。
处罚：数额较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑。
投放虚假危险物质罪
定义：投放虚假的爆炸性、毒害性、放射性、传染病病原体等物质，或者编造爆炸威胁、生化威胁、放射威胁等恐怖信息，严重扰乱社会秩序的。
法律依据：《中华人民共和国刑法修正案（三）第八条。
处罚：处五年以下有期徒刑、拘役或者管制；造成严重后果的，处五年以上有期徒刑。
治安管理处罚
定义：一般的恐吓行为，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》进行行政处罚。
法律依据：《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条。
处罚：处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。
综上所述，恐吓行为在构成寻衅滋事罪、敲诈勒索罪或投放虚假危险物质罪时会受到刑事处罚，而一般的恐吓行为则根据《中华人民共和国治安管理处罚法》进行行政处罚。建议根据具体情况和动机，判断是否构成刑事犯罪，并采取相应的法律措施。